MATEMATIKA DISKRIT

DAFTAR ISI

KATA PENGANTARi

DAFTAR ISIii

BAB I PENDAHULUAN1

1.1 LATAR BELAKANG1

1.2 RUMUSAN MASALAH2

1.3 TUJUAN PENULISAN2

BAB II PEMBAHASAN3

2.1 PENGERTIAN HIMPUNAN3

2.2 CONTOH DARI HIMPUNAN DAN BUKAN HIMPUNAN4

2.2.1 CONTOH HIMPUNAN4

2.2.2 CONTOH BUKAN HIMPUNAN4

2.3 NOTASI HIMPUNAN4

2.3.1 CARA MENYATAKAN HIMPUNAN 6

2.3.1.1 MENYATAKAN HIMPUNAN MENGGUNAKAN KATA-KATA ATAU MRENYEBUTKAN SYARAT6

2.3.1.2 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN CARA MEYEBUTKAN ANGGOTANYA6

2.3.1.3 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN MEMAKAI NOTASI PEMBENTUKAN HIMPUNAN6

2.4 JENIS – JENIS HIMPUNAN7

2.4.1 HIMPUNAN KOSONG7

2.4.2 HIMPUNAN SEMESTA8

2.4.3 HIMPUNAN BAGIAN8

2.4.4 HIMPUNAN EKIVALEN9

2.4.5 HIMPUNAN DISJOINT9

2.4.6 HIMPUNAN BERHINGGA & HIMPUNAN TAK BERHINGGA10

2.5 OPERASI HIMPUNAN10

2.5.1 IRISAN10

2.5.2 GABUNGAN11

2.5.3 KOMPLEMEN12

2.5.4 SELISIH14

2.5.5 BEDA SETANGKAP15

2.5.6 PERKALIAN KARTESIAN15

2.6 CARA PENULISAN HIMPUNAN16

2.7 HUKUM ALJABAR HIMPUNAN17

BAB III ISI19

3.1 CONTOH SOAL & JAWABAN HIMPUNAN MATEMATIKA19

BAB IV PENUTUP25

4.1 KESIMPULAN25

4.2 SARAN25

DAFTAR PUSTAKA26

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Pada umumnya, belajar matematika identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu dengan buku panduan yang sangat tebal dan banyak. Itulah yang menyebabkan para pelajar merasa bosan untuk belajar matematika.

Matematika sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa Matematika sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari Matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu sosial tetap saja ada pelajaran Matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan dalam aktivitas sehari-hari.

“Himpunan”. Satu kata penuh pertanyaan. Beberapa orang belum mengetahui apa arti sebenarnya dari himpunan sehingga kadang-kadang orang itu salah mengartikannya. Sebenarnya kata himpunan itu erat kaitannya dengan pengelompokkan . Beberapa orang yang telah mengetahui kaitan himpunan dengan pengelompokkan ini akhirnya bisa menyimpulkan sendiri meskipun belum biasa mendeksripsikannya secara jelas.

Seringkali masalah ini akhirnya berhubungan dengan masalah sampah juga. Ketika suatu tempat sampah tertulis “Sampah basah”, beberapa orang masih saja salah membuang sampah di tempat yang tidak sesuai dengan labelnya. Mereka tidak mempedulikan arti dari himpunan “Sampah basah” itu. Mereka belum mengerti secara jelas karena mereka belum menguasai konsep dasarnya, yaitu himpunan. Kita harus melakukan 3M ,Mulai dari diri sendiri, Mulai dari kecil/dini, dan Mulai dari sekarang.

Beranjak dari hal itu , untuk meningkatkan kesadaran kita sebagai mahasiswa Kesehatan Masyarakay, kita harus memperhatikan pemilahan atau pengelompokkan sampah yang baik dan benar sehingga di masa yang akan datang kita bisa menerapkannya juga kepada orang lain atau bisa bermanfaat bagi semua orang. Mengingat akan penting dan manfaatnya himpunan dala kehidupan sehari-hari terutama dalam dunia kesehatan maka penulis bermaksut menulis makalah tentang “Himpunan”.

1.2 RUMUSAN MASALAH

1. Menjelaskan tetang pengertian Himpunan?

2. Menyebutkan jenis-jenis himpunan?

3. Menjelaskan cara penulisan himpunan?

4. Menjelaskan operasi dan hokum aljabar pada himpunan?

5. Mejabarkan manfaat mempelajari himpunan dalam kehidupan sehari-hari?

6. Menjabarkan penerapan himpunan?

1.3 TUJUAN PENULISAN

Penulisan makalah ini bertujuan untuk mengetahui dan menjelaskan tentang Himpunan dan manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 PENGERTIAN HIMPUNAN

Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Gerorg Cantor dianggap sebagai Bapak teori himpunan. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan. Istilah didefinisikan dengan jelas dimaksukkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak.

Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari. Jika kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana anggota himpunan tersebut dan mana yang bukan.Himpunan makanan yang lezat, himpunan gadis yang cantik dan himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainya.

Demikian juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang. Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan tersebut. Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.

2.2 CONTOH DARI HIMPUNAN DAN BUKAN HIMPUNAN

2.2.1 CONTOH HIMPUNAN

1. Kumpulan kendaraan beroda tiga, anggotanya bisa ditentukan dengan jelas yaitu becak, bajaj, bemo.

2. Kumpulan bilangan bulat positif kurang dari 10, anggotanya bisa ditentukan dengan jelas yaitu 1,2,3,4,5,6 dan seterusnya.

3. Kumpulan hewan yang berkembang biak dengan bertelur, anggotanya bisa ditentukan dengan jelas yaitu burung, ayam, bebek, komodo, kadal, dan lain-lain.

2.2.2 CONTOH BUKAN HIMPUNAN

1. Kumpulan baju-baju bagus, anggotanya tidak bisa ditentukan dengan jelas karena setiap orang mempunyai pandangan sendiri-sendiri seperti apa baju yang bagus. Artinya baju bagus menurut seseorang belum tentu bagus menurut orang lain.

2. Kumpulan makanan enak, anggotanya tidak bisa ditentukan dengan jelas karena enak menurut seseorang belum tentu enak menurut orang yang lain. hal ini biasanya disebut dengan relatif.

2.3 NOTASI HIMPUNAN

Dalam menyatakan atau penulisan sebuah himpunan umumnya terdapat beberapa ketentuan yaitu:

1. Nama himpunan biasanya ditulis dengan huruf besar/kapital.

2. Objek yang termasuk anggota himpunan ditulis didalam tanda kurung kurawal seperti {....}

3. Masing-masing anggota himpunan dipisahkan dengan tanda koma (..,..)

4. Sementara anggota himpunan ditulis memakai huruf kecil.

Contohnya:

himpunan hewan laut, L = {ikan,cumi-cumi,penyu,kerang,...dan seterusnya}

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Nama	Notasi	Contoh
Himpunan	Huruf besar	S
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)	α
Kelas	Huruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan	Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks
Notasi	ℕ	ℤ	ℚ	ℝ	ℂ

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol	Arti
{} atau ∅	Himpunan kosong
	Operasi gabungan dua himpunan
	Operasi irisan dua himpunan
, ⊂, ⊇, ⊃	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
	Komplemen
	Himpunan kuasa

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

· Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (…).

B = { Apel, Jeruk, Mangga, Pisang}

A = { a, b, c, …, y, z}

ℕ = {1,2,3,4, …}

· Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

0 = {

adalah bilangan ganjil}

E =

∧ (

)}

adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI}

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut.

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

2.3.1 CARA MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN

Untuk menyatakan suatu himpunan dalam matematika setidaknya ada beberapa cara, yaitu:

2.3.1.1 Menyatakan himpunan menggunakan kata-kata(deskripsi) atau menyebut syarat-syaratnya.

Contohnya:

A = { bilangan cacah kurang dari 30 }

B = { nama-nama hari dalam satu minggu}

C = { bilangan asli antara 6 sampai 20 }

2.3.1.2 Menyatakan himpunan dengan cara menyebutkan anggotanya(tabulasi).

Yakni dengan cara elemen/anggota himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal dan

Contohnya:

A = { senin,selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, minggu }, untuk himpunan yang anggotanya sedikit atau terbatas.

B = { Banyumanik, Candisari, Gayamsari, Pedurungan, Semarang Selatan, ....., Tembalang }, untuk meyatakan himpunan yang jumlah anggotanya banyak tetapi terbatas.

C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..... }, untuk meyatakan himpunan yang jumlah anggotanya banyak serta tidak terbatas.

2.3.1 .3 Menyatakan himpunan dengan memakai notasi pembentuk himpunan.

Dengan memakai cara ini, anggota himpunan tidak perlu disebutkan satu persatu, tetapi hanya dituliskan aturannya saja.

Contoh:

A adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 7.

Jika dinyatakan dengan cara tabulasi, himpunan ini bisa ditulis dengan A = {0, 1, 2, 3, 4,5,6}.

Sementara jika dinyatakan dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan, himpunan ini bisa dituliskan A = {x|x < 7, x bilangan cacah}. Di baca, “himpunan A anggotanya adalah x sedemikian hingga x adalah kurang dari 7 dan x adalah bilangan cacah.”

Anggota Himpunan dan Bukan Anggota Himpunan

Sekarang kamu sudah mengetahui apa itu himpunan? ya himpunan merupakan kumpulan benda atau objek yang anggotanya bisa didefinisikan dengan jelas.

Dalam matematika anggota dari suatu himpunan disimbolkan dengan ∈ sedangkan

bukan anggota himpunan disimbolkan dengan ∉ .

Dan banyaknya anggota dari suatu himpunan, misalnya kita memakai contoh banyaknya anggota himpunan D adalah 10, bisa kita tulis Notasi banyaknya anggota himpunan D dapat ditulis n(D) = 10 yang dibaca banyaknya anggota himpunan D adalah 10.

Contoh:

D = himpunan 10 bilangan asli yang pertama.

Nama himpunan memakai huruf kapital.

D = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

Maka bisa kita nyatakan n(D) = 10

3 ∈ D dibaca tiga merupakan anggota dari himpunan D.

4 ∈ D dibaca empat merupakan anggota dari himpunan D.

Untuk menyatakan bukan anggota himpunan dinotasikan dengan ∉.

11 ∉ D dibaca sebelas bukan anggota dari himpunan D.

13 ∉ D dibaca tiga belas bukan anggota dari himpunan D.

2.4 JENIS-JENIS HIMPUNAN

2.4.1 HIMPUNAN KOSONG

Jika suatu himpunan tidak mempunyai anggota, dengan kata lain dengan kardinalitas himpunan tersebut sama dengan nol maka himpunan tersebut dinamakan himpunan kosong (null set). Notasinya: ∅ atau {}

Akan tetapi jika dijumpai B = {{ }} atau dapat juga ditulis sebagai B = {∅} maka B tidak disebut sebagai himpunan kosong karena ia memuat satu unsur yaitu himpunan kosong.

2.4.2 HIMPUNAN SEMESTA

Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan. Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U. Contoh:

Jika U = {1, 2, 3, 4, 5} sebagai semesta pembicaraan dan A = {1, 3, 5} maka dikatakan bahwa A merupakan himpunan bagian dari U.

2.4.3 HIMPUNAN BAGIAN

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap unsur A merupakan unsur dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi himpunan bagian : A ⊆ B atau A ⊂ B

Jika digambarkan dalam bentuk diagram Venn himpunan bagian tersebut menjadi:

Sebagai sebuah himpunan bagian, maka untuk setiap himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A ⊆ A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( ∅ ⊆ A).

∅ ⊆ A dan A ⊆ A, maka ∅ dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Pernyataan A ⊆ B berbeda dengan A ⊂ B karena notasi A ⊂ B berarti A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ≠ B sedangkan pernyataan A ⊆ B digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B. Yang demikian dikatakan bahwa A merupakan himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Himpunan A disebut sebagai subset dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Kita menggunakan notasi A⊆B untuk menunjukkan bahwa A adalah subset dari B.

2.4.4 HIMPUNAN EKIVALEN

Dua buah himpunan dikatakan sama jika memenuhi kondisi berikut :

A = B jika dan hanya jika setiap unsur A merupakan unsur B dan sebaliknya setiap unsur B merupakan unsur A.

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C

(b) Jika A = B, maka B = A

Dua buah himpunan dikatakan ekivalen jika masing-masing mempunyai kardinalitas yang sama. Misalkan, himpunan A adalah ekivalen dengan himpunan B berarti kardinal dari himpunan A dan himpunan B adalah sama, notasi yang digunakan adalah : A ~ B

Contoh:

Misalkan A = { 2, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab |A|=|B|= 4

Dua himpunan dikatakan ekivalen jika dan hanya jika memiliki anggota himpunan yang sama.

2.4.5 HIMPUNAN DISJOINT

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki unsur yang sama. Notasi yang digunakan adalah A // B .

Misalnya A = {x /x = bilangan bulat positif}

B = {x /x = bilangan bulat negatif}

Maka A dan B merupakan dua himpunan yang saling lepas.

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah sebagai berikut :

Dua himpunan dikatakan saling lepas (disjoint) bila irisannya adalah himpunan kosong.

2.4.6 HIMPUNAN BERHINGGA DAN HIMPUNAN TAK BERHINGGA (INFINIT).

Himpunan dikatakan berhingga jika ia mempunyai anggota-anggota yang banyaknya berhingga. Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga. Contoh :

H = {x / x = himpunan bilangan-bilangan bulat positif } = {1, 2, 3, ……}. Maka H disebut himpunan tak berhingga.

K = { x, y, z}. Maka K disebut himpunan berhingga.

Himpunan yang tidak berhingga disebut himpunan infinit

2.5 OPERASI HIMPUNAN

2.5.1 Irisan (intersection)

Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩ ‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka

A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah sebagai berikut :

Jika A dan B adalah himpunan maka irisan A dan B dinotasikan dengan AnB adalah himpunan yang berisi semua elemen yang ada pada keduanya. Irisan dari sekumpulan himpunan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang merupakan anggota dari semua himpunan yang ada dalam kumpulan tersebut.

Contoh:

· {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.

· {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.

· {Budi, Cici} ∩ {Dani, Cici} = {Cici}.

· {Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat dasar irisan:

· A ∩ B = B ∩ A.

· A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.

· A ∩ B ⊆ A.

· A ∩ A = A.

· A ∩ ∅ = ∅.

· A ⊂ B jika dan hanya jika A ∩ B = A.

2.5.2 Gabungan (union)

Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang menjadi anggota A atau menjadi anggota B. Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∪‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka

A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :

Jika A dan B adalah himpunan maka union dari A dan B dinotasikan dengan AUB adalah himpunan yang berisi semua elemen yang ada pada A, B, maupun keduanya.

Gabungan dari sekumpulan himpunan adalah himpunan yang berisi semua elemen yang merupakan anggota dari sedikitnya satu himpunan dalam kumpulan tersebut.

2.5.3 Komplemen (complement)

Komplemen dari suatu himpunan merupakan unsur -unsur yang ada pada himpunan universal (semesta pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalkan A merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari himpunan A dinotasikan oleh :

A = { x | x ∈ U dan x ∉ A }

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :

Jika U adalah himpunan universal, komplemen himpunan A dinotasikan dengan ~A adalah komplemen dari A terhadap U. Dengan kata lain berlaku komplemen himpunan A adalah U-A

Macam – Macam Komplemen

Komplemen B terhadap A

Komplemen A terhadap U

Diferensi simetris himpunan A dan B

Operasi pelengkap A^C setara dengan bukanA atau A’. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

Contoh:

· {1, 2} \ {1, 2} = ∅.

· {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat dasar komplemen:

· A \ B ≠ B \ A untuk A ≠ B.

· A ∪ A′ = U.

· A ∩ A′ = ∅.

· (A′)′ = A.

· A \ A = ∅.

· U′ = ∅ dan ∅′ = U.

· A \ B = A ∩ B′.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A – B menghasilkan

Contohnya, diferensi simetris antara:

· {7, 8, 9, 10} dan {9, 10, 11, 12} adalah {7, 8, 11, 12}.

· {Ana, Budi, Dedi, Felix} dan {Budi, Cici, Dedi, Ela} adalah {Ana, Cici, Ela, Felix}.

2.5.4 Selisih (difference)

Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B. Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh

A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B

Misalkan A = { a, b, c, d, e } dan B = { b, d, e, g, h }

A – B = { a, c }

B – A = { b, c }

Kesimpulan umumnya: A – B ≠ B – A

Jika A dan B adalah himpunan, maka beda A dan B dinotasikan dengan A-B adalah himpunan yang berisi elemen yang ada di A tapi tidak ada di B. Beda tersebut diistilahkan sebagai komplemen B terhadap A.

2.5.5 Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘ ⊕ ‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan oleh :

A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)

= (A – B) ∪ (B – A)

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :

Contoh:

Jika A = { a, b, c, d, e } dan B = { b, d, e, f, g, h },

maka A ⊕ B = { a, c, f, g, h }

Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif)

(b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)

2.5.6 Perkalian Kartesian (cartesian product)

Perkalian kartesian antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘× ‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka perkalian kartesian antara A dan B dinotasikan oleh :

A × B = {(a, b)| a ∈ A dan b ∈ B }

Contoh:

(i) Misalkan C = {1, 2, 3}, dan D = { a, b }, maka

C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka

A × B = himpunan semua titik di bidang datar

Misalkan ada dua himpunan dengan kardinalitas berhingga, maka kardinalitas himpunan hasil dari suatu perkalian kartesian antara dua himpunan tersebut adalah perkalian antara kardinalitas masing-masing himpunan. Dengan demikian, jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:

|A × B| = |A|.|B|

Pasangan terurut (a,b) berbeda dengan (b,a), dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a). Dengan argumen ini berarti perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu

A × B ≠ B × A

dimana A atau B bukan himpunan kosong.

Jika A = ∅ atau B = ∅, maka A × B = B × A = ∅

Jika A dan B adalah himpunan, maka Cartesian Product dari A dan B yang dinotasikan dengan A x B merupakan himpunan dari semua pasangan terurut elemen A dan B. Sehingga AXB={(a,b)| a ∈ A ∩ b ∈ B}

Hukum hukum mengenai operasi himpunan akan dijelaskan kemudian pada tabel 1.1 subbab prinsip dualitas himpunan.

2.6 Cara Penulisan Himpunan

Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan

1. Dengan menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Cara ini disebut juga cara Tabulasi.

Contoh: A = {a, i, u, e, o}

B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}

2. menyebutkan syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.

Contoh: ambil bilangan asli kurang dari 5

A = bilangan asli kurang dari 5

3. Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggotanya.

Contoh Soal :

Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini :

A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

Penyelesaian :

A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

Dengan menulis tiap-tiap anggotanya A = {2, 3, 4, 5}

Dengan menulis sifat-sifatnya A = {x | 1 < x < Asli}Î6, x

4. Himpunan juga dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn)

Penyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam segiempat tersebut.

2.7 Hukum Aljabar Himpunan

Hukum-hukum pada himpunan dinamakan Hukum –hukum aljabar himpunan. cukup banyak hukum yang terdapat pada aljabar himpunan , tetapi disini hanya dijabarkan 11 saja. Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil seperti a (b+c) = ab + ac , yaitu hukum distributif.

1. Hukum komutatif

o p ∩ q ≡ q ∩ p

o p ∪ q ≡ q ∪ p

2. Hukum asosiatif

o (p ∩ q) ∩ r ≡ p ∩ (q ∩ r)

o (p ∪ q) ∪ r ≡ p ∪ (q ∪ r)

3. Hukum distributif

o p ∩ (q ∪ r) ≡ (p ∩ q) ∪ (p ∩ r)

o p ∪ (q ∩ r) ≡ (p ∪ q) ∩ (p ∪ r)

4. Hukum identitas

o p ∩ S ≡ p

o p ∪ ∅ ≡ p

5. Hukum ikatan

o p ∩ ∅ ≡ ∅

o p ∪ S ≡ S

6. Hukum negasi

o p ∩ p’ ≡ ∅

o p ∪ p’ ≡ S

7. Hukum negasi ganda

o (p’)’ ≡ p

8. Hukum idempotent

o p ∩ p ≡ p

o p ∪ p ≡ p

9. Hukum De Morgan

o (p ∩ q)’ ≡ p’ ∪ q’

o (p ∪ q)’ ≡ p’ ∩ q’

10. Hukum penyerapan

o p ∩ (p ∪ q) ≡ p

o p ∪ (p ∩ q) ≡ p

11. Negasi S dan ∅

o S’ ≡ ∅

o ∅’ ≡ S

Terlihat bahwa hukum- hukum yang berlaku pada himpunan merupakan analogi hukum –hukum logika , dengan operator menggantikan L (dan) , sedangkan operator menggantikan V ( atau ).

Beberapa banyak anggota di dalam gabungan dua himpunan A dan B. penggabungan dua buah himpunan menghasilkan himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari himpunan A dan himpunan B. himpunan A dan himpunan B mungkin saja memiliki elemen yang sama. Banyaknya elemen bersama antara A dan B adalah |A | . setiap unsure yang sama itu telah dihitung dua kali , sekali pada |A| dan sekali pada |B|, meskipun ia seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen di dalam |A | . karena itu , jumlah elemen hasil penggabungan seharusnya adalah jumlah elemen di masing-masing himpunan dikurangi jumlah elemen di dalam irisannya, atau |A| + B | -|A |

BAB III

ISI

3.1 CONTOH SOAL DAN JAWABAN HIMPUNAN MATEMATIKA

1. Diketahui:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {6, 7, 8}

a. Tentukanlah A ∪ B.
b. Buatlah diagram Venn-nya.

Penyelesaian:

a. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

b. Berikut adalah diagram Venn-nya

Tuliskan himpunan-himpunan di bawah ini.
a. A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10.
b. M adalah nama-nama hari dalam seminggu.

Penyelesaian:

a. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
b. M = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}

2. Di dalam sebuah ruangan terdapat 150 siswa yang baru lulus SMP. Diketahui ada 75 siswa memilih untuk masuk SMA dan 63 siswa memilih untuk masuk SMK sementara ada 32 siswa yang belum menentukan pilihannya. Lalu, berapakah banyaknya siswa yang hanya memilih untuk masuk SMA dan SMK saja?

Pembahasan:

Siswa yang memilih masuk SMA dan SMK adalah:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) – (n{S} – n{X})
n{AΛB} = (75 + 63) – (150 – 32)
n{AΛB} = 138 – 118
n{AΛB} = 20 siswa
Siswa yang memilih masuk SMA saja = 75 – 20 = 55 orang
Siswa yang memilih masuk SMK saja = 63 – 20 = 43 orang

3. Tulis dalam bentuk himpunan kata-kata berikut.
a. NUSANTARA
b. MATEMATIKA.

Penyelesaian:
a. {N, U, S, A, T, R}
b. {M, A, T, E, I, K}

4. Siswa kelas 7 SMP Maju Jaya adalah 45. tiap-tiap siswa memilih dua jenis pelajaran yang mereka sukai. diketahui ada 27 siswa yang menyukai pelajaran Matematika dan 26 siswa menyukai pelajaran Bahasa Inggris. Sementara siswa yang tidak menyukai kedua pelajaran tersebut ada 5 orang. Tentukanlah banyaknya siswa yang menyukai pelajaran bahasa inggris dan matematika serta buat diagram venn-nya.

Pembahasan:

Cari terlebih dahulu jumlah siswa yang menyukai kedua pelajaran tersebut:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) – (n{S} – n{X})
n{AΛB} = (27 + 26) – (45 – 5)
n{AΛB} = 13

Maka dapat disimpulkan bahwa:

Siswa yang menyukai matematika saja = 27 – 13 = 14 siswa
Siswa yang menyukai bahasa inggris saja = 26 – 13 = 13 siswa

5. Dari 40 orang bayi, diketahui bahwa ada 18 bayi yang gemar memakan pisang, 25 bayi gemar makan bubur, dan 9 bayi menyukai keduanya. Lalu ada berapa bayi yang tidak menyukai pisang dan bubur?

Pembahasan:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) – (n{S} – n{X})
9 = (18 + 25) – (40 – n{X})
9 = 43 – 40 + n{X}
9 = 3 + n{X}
9 – 3 = n{X}
n{X} = 6

6. Diketahui himpunan A dan B seperti daftar berikut ini:
A = {1, 2, 4, 8}
B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Tentukan:
a) A − B
b) B − A

Pembahasan:
A = {1, 2, 4, 8}
B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
a) A − B = {8}
Yakni dengan cara menuliskan ulang himpunan A sambil menghapus anggota A yang juga menjadi anggota dari B.
b) B − A = {3, 6, 12}
Yakni dengan cara menuliskan ulang himpunan B sambil menghapus anggota B yang juga menjadi anggota dari A.

7. Dari 42 kambing yang ada di kandang milik pak Tony, 30 kambing menyukai rumput gajah, dan 28 ekor kambing menyukai rumput teki. apabila ada 4 ekor kambing yang tidak menyukai kedua rumput tersebut, berapa ekor kambing yang menyukai rumput gajah dan rumput teki?

Pembahasan:

untuk mencarinya, kita gunakan rumus himpunan berikut:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) – (n{S} – n{X})
n{AΛB} = (30 + 28) – (42 – 4)
n{AΛB} = 58 – 38
n{AΛB} = 20

Jadi, jumlah kambing yang menyukai kedua jenis rumput tersebut adalah 20 ekor.

8. Himpunan A, B dan C masing-masing anggotanya sebagai berikut:
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}
C = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Tentukanlah:
a)( A ∩ B) ∩ C
b) A ∩ (B ∩ C)

Kesimpulan apa yang dapat diambil?

Pembahasan:
a) Menentukan ( A ∩ B) ∩ C
A ∩ B = {2}
( A ∩ B) ∩ C = {2}

Menentukan A ∩ (B ∩ C)

B ∩ C = {2, 4, 6, 12}

A ∩ (B ∩ C) = {2}

Dapat disimpulkan bahwa ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

9. Diketahui semesata dari sebuah himpunan dan himpunan A sebagai berikut:
S = {x | 2 ≤ x ≤ 12 }
A = {3, 5, 7, 9, 11}
Tentukan komplemen dari himpunan A

Pembahasan:
Koplemen dari himpunan A adalah anggota semesta yang bukan anggota dari A. Sehingga:
A’ = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

10. Dari sekelompok atlet diketahui bahwa 17 orang menyukai sepak bola, 13 menyukai renang, dan 12 orang menyukai keduanya. coba kalian gambarkan diagram venn dan tentukan pula jumlah keseluruhan dari atlet tersebut.

Pembahasan:

Jumlah keseluruhan dari atlet tersebt adalah:
Atlet ang menyukai sepakbola saja : 17-12 = 5 orang
Atlet yang menyukai renang saja = 13 – 12 = 1 orang

Diagram venn-nya adalah:

Jadi, jumlah keseluruhan atlet tersebut adalah 18 orang.

11. Diberikan himpunan A dan B sebagai berikut:
A = {2, 3, 5, 7, 9}
B = {0, 1, 2, 5, 10}
Tentukan:
a) A ∩ B
b) A ∪B

Pembahasan:
A = {2, 3, 5, 7, 9}
B = {0, 1, 2, 5, 10}

a) A ∩ B = {2, 5}
yakni irisan himpunan A dan himpunan B. Dituliskan anggota yang menjadi elemen dari kedua himpunan.

b) A ∪B = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 9, 10}
Yakni gabungan himpunan A dan B. Dituliskan semua anggota yang ada pada kedua himpunan. Anggota yang sama dituliskan satu kali saja.

BAB IV

PENUTUP

4.1 KESIMPULAN

Ada beberapa hal yang dapat disimpulkan dalam pembuatan makalah ini, diantaranya adalah:

1. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan

2. Jenis-jenis terdiri dari himpunan bagian, himpunan kosong, himpunan semesta, himpunan sama, himpunan lepas, himpunan komplement, dan himpunan ekuivalent.

3. Himpunan dapat ditulis dengan menyebutkan semua anggota, menyebutkan syarat-syarat anggota, notasi pembetuk himpunan, dan secara grafik

4. Operasi pada himpudan terdiri dari gabungan, irisan, komplement, selisih, dan hasil kali kartesius

5. Pembuktian proporsi himpunan dapat menggunakan diagram venn, tabel keanggotaan, aljabar himpunan, dan definisi

7. Manfaat mempelajari himpunan adalah membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren, meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif, menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri, memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis, meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan, mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

4.2 SARAN

Tanpa kita sadari ternyata begitu banyak manfaat dari aplikasi matematika untuk kehidupan sehari-hari. Baik dalam bidang ekonomi, pendidikan, dan dalam berbagai disiplin ilmu yang lainya. Oleh karena itu penulis menyarankan agar kita lebih serius dalam mempelajari matematika dan jangan dijadikan matematika sebagai sesuatu yang menyeramkan untuk dipelajari karena matematika adalah bagian sangat dekat yang tak terpisahkan dari kehidupan kita.

Pencarian

NOVIA Blog's

MATEMATIKA DISKRIT | HIMPUNAN